Anmerkungen zu Cantors zweitem Diagonalargument
Inhaltsverzeichnis. 1
Einleitung. 2
1. Ist Cantors Verfahren formal richtig?. 3
1.1 Was ist mit der 0?. 3
1.2 Was ist mit den Vorkommastellen der Reellen Zahlen?. 3
2. Diagonalverfahren mit unendlich großen Zahlen. 5
2.1 Unendlich große Zahlen, die eine höchste Stelle haben. 5
2.2 Unendlich große Zahlen, die eine niederste Stelle haben. 5
3. Diagonalverfahren mit Reellen Zahlen. 7
3.1 Ein Beispiel 7
3.2 Was ist, wenn bei anderer Sortierung der Liste die Diagonalzahl die Ziffer an,n = 0 kreuzt?. 7
3.3 Was ist, wenn man das Intervall [0|1[ oder dual[11|100[ zugrunde legt?. 7
3.4 Was ist, wenn man das Intervall ]0|0,1] oder ]0|0,01] zugrunde legt?. 8
3.5 Fazit. 8
4. Dezimalzahlen. 10
5. Münzwürfe. 11
6. Ein Beweis für die Abzählbarkeit der Reellen Zahlen. 12
Cantors zweites Diagonalargument ist der bekanntere seiner zwei Beweise der Überabzählbarkeit Reeller Zahlen. Das Originaldokument findet man im Internet unter
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=49471
Wikipedia: Cantors zweites Diagonalargument
Im Original bezieht Cantor sich auf dyadische Systeme, z. B. Dualzahlen: „Sind nämlich m und w irgend zwei einander ausschließende Charaktere, …“. Bei der Auslegung seines Beweises für die Reellen Zahlen besetzt Cantor die beiden Charaktere m und w mit den Werten 0 und 1. In den Anmerkungen am Schluss seiner Schrift werden die Begriffe „Dualzahlen“ und „Dualbrüche“ erwähnt. Deshalb habe ich hier meine Beispiele mit Dualzahlen unterlegt. Da es aber üblich ist, Cantors zweites Diagonalargument mit Hilfe des Dezimalsystems konkret abzubilden, werde ich auch auf diese Darstellungsweise eingehen (siehe Kapitel 4).
Cantor wählt ein Beispiel:
„Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden drei:
EI = (m, m, m, m, …),
EII = (w, w, w, w, …),
EIII = (m, w, m, w, …).“
Es handelt sich bei diesem Beispiel um unendlich große Zahlen bzw. um unendliche Reihen. Mindestens eine der drei Reihen beginnt mit führenden Nullen, wenn man die Dualzahlen als gegeben voraussetzt. Und wenn man unendliche Ziffernfolgen mit führenden Nullen beginnt, so sollte man sie mit unendlich vielen führenden Nullen beginnen lassen. Aber wo soll man in der Unendlichkeit die Diagonalzahl ansetzen? Besser ist es also, man lässt die führenden Nullen weg, indem man alle Zahlen immer mit jenem der Charaktere m oder w beginnen lässt, welcher nicht für die 0 steht. Das ist bei den Dualzahlen die Ziffer 1. Dann beginnt jede zugehörige Diagonalzahl mit einer 0. Die Diagonalzahl kann sich nicht in der vollständigen Liste der zugrunde gelegten unendlich großen Dualzahlen befinden? Ich behaupte, sie befindet sich immer in dieser Liste. In Kapitel 2 werde ich näher darauf eingehen und dies anhand eines Beispiels beweisen.
Cantor übersieht also die konkreten Folgen seines abstrakt geführten Beweises, wenn einer der zwei Charaktere m und w, die einander ausschließen, eine 0 ist (siehe Kapitel 2). Man muss schon ein ungebräuchliches dyadisches Zahlensystem konstruieren, um ohne die 0 auszukommen, oder man klammert Zahlensysteme gänzlich aus (siehe Kapitel 5). Aus diesem Grund wird bei Cantors zweitem Diagonalverfahren mit Hilfe der Dezimalzahlen Täuschung betrieben, denn bei den Dezimalzahlen kann man vordergründig die Probleme umgehen, die sich aus der 0 ergeben (siehe Kapitel 4).
Bei Cantors zweitem Diagonalargument kann also von einer Allgemeingültigkeit keine Rede sein.
Cantor wandelt die Nachkommastellen der Reellen Zahlen in Reihen (Arrays) um. Dabei lässt er die Diagonalzahl an der ersten Nachkommastelle der Liste beginnen. Die Vorkommastelle ignoriert er. Dadurch wandelt er das Intervall [0|1[ der Reellen Zahlen um in die Menge der unendlich großen Zahlen, die unendlich viele Stellen haben. Diese Zahlen gehören nicht zur Menge der Natürlichen Zahlen, da diese per Definition endlich viele Stellen haben müssen. Diese unendlich großen Zahlen gehören auch nicht zur Menge der Reellen Zahlen. Bei diesen unendlich großen Zahlen ist die höchste Stelle bekannt: es ist stets eine 1, wenn man die Dualzahlen zugrunde legt. Die Unendlichkeit dieser auch in der Mathematik ungebräuchlichen Zahlen ergibt sich in Richtung der niederwertigen Stellen. Cantors weitere Betrachtung betrifft also entgegen seiner Behauptung weder die Menge der Reellen Zahlen, noch handelt es sich um das Intervall [0|1[ (siehe Kapitel 3).
Cantor bedient sich dann eines Taschenspielertricks, um zur Menge der Reellen Zahlen zurückzukehren: Er schreibt einfach „0,“ vor die konstruierte Diagonalzahl. Dafür gibt es aber keine Rechtfertigung. Denn Cantor schreibt:
„Hier sind die au,v in bestimmter Weise m oder w.“
Aber an der Stelle vor der konstruierten unendlich großen Diagonalzahl befindet sich keins der Elemente m oder w, sondern die leere Menge {}.
Die Diagonalzahl hat an dieser Stelle den Index 0. Ebenso ist die Liste hier mit 0,0 indiziert. Diese Indizierungen sind aber nicht zulässig.
Wenn man für die Liste das Dualzahlen-Intervall [11|100[ wählt, um die Zahl Pi in der Liste stehen zu haben, würde Cantor vermutlich einfach eine „11,“ vor die Diagonalzahl schreiben, wo sich diagonal unter ihr zweimal die leere Menge {} befindet. Der Index wäre dann in der Liste -1,-1 bzw. für die Diagonalzahl -1.
Man sieht hier sehr deutlich, dass sein Vorgehen ein willkürliches Konstrukt ist. Denn wir haben nur die Elemente m und w, bzw. die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung, während die Indizierung mit 1 begonnen werden muss.
Über der leeren Menge wird also willkürlich manchmal die 0 und manchmal die 1 geschrieben, damit das gewünschte Ergebnis entsteht. Außerdem wird unzulässig indiziert. Das ist Scharlatanerie.
Cantors zweites Diagonalargument ist also bezüglich der Reellen Zahlen wegen dieses formalen Fehlers gescheitert.
Um das Diagonalverfahren korrekt anzuwenden, muss man die Diagonalzahl selbstverständlich an der höchsten Vorkommastelle ansetzen. Dann kann man für das Element w ein m setzen bzw. umgekehrt, um das Problem der leeren Menge {} auszuschließen und um eine korrekte Indizierung vorzunehmen.
In diesem Beispiel werden unendlich große Zahlen betrachtet, die als Dualzahlen dargestellt werden. Die Zahl 0 gehört nicht zur Menge der unendlich großen Zahlen. Selbstverständlich gibt es keine führende 0 (siehe Kapitel 1), sodass jede Zahl mit der Ziffer 1 beginnt. Ich setze nun für jedes an,n = 0 in der Liste der unendlich großen Zahlen an entsprechender Stelle der Diagonalzahl bn = 1. Für an,n = 1 wird bn = 0 gesetzt.
Beispielliste:
1. 1 0 0 0 0 0 0 …
2. 1 0 0 0 0 0 1 …
3. 1 0 1 1 0 1 0 …
4. 1 0 1 0 1 1 0 …
5. 1 1 1 0 0 1 1 …
6. 1 1 1 1 0 1 0 …
7. 1 1 1 1 1 0 0 …
…
Die Diagonalzahl ist nun 0101101… . Diese Zahl befindet sich, solange sie als Array (Reihe) dargestellt wird, nicht in der Liste der Arrays von unendlich großen Zahlen. Da Cantors Beweis sich aber nicht auf Arrays, sondern auf Zahlen beziehen soll, wird das Diagonalarray nun in eine Zahl gewandelt. Dabei wird selbstverständlich die führende 0 weggelassen, da die Zahlen der Liste ebenfalls keine führenden Nullen haben. Die Diagonalzahl ist nun 1011010… . Wie man sieht, befindet sich diese Zahl durchaus in der Liste der unendlich großen Zahlen, nämlich an dritter Stelle. Wenn man den Zahlen eine andere Reihenfolge gibt, erhält man selbstverständlich eine andere Diagonalzahl. Sie befindet sich aber nach dem Entfernen der führenden 0 bzw. Nullen in jedem Fall in der Liste der unendlich großen Zahlen. Wer will, mag das auf theoretischer Ebene beweisen. Der Beweis dürfte recht einfach sein: Durch das Entfernen der führenden 0 bzw. Nullen wurde die Schnittstelle an,n ungleich bn verschoben bzw. aufgelöst. Und weil die Liste alle möglichen Kombinationen von unendlich vielen Einsen und Nullen enthält, die mit 1 beginnen, befindet sich auch die Diagonalzahl nach dem Entfernen der führenden 0 bzw. Nullen als Reihe irgendwo in der Liste.
Damit ist Cantors zweites Diagonalargument widerlegt.
Ich habe die Liste mit Ordinalzahlen versehen. Es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen, um die Liste lückenlos durchzunummerieren.
Damit ist die Abzählbarkeit der Menge unendlich großer Zahlen mit höchster Stelle bewiesen.
Auch in diesem Beispiel werden unendlich große Zahlen betrachtet, die als Dualzahlen dargestellt werden. Die Zahl 0 gehört nicht zur Menge der unendlich großen Zahlen. Ich setze nun für jedes an,n = 0 in der Liste der unendlich großen Zahlen an entsprechender Stelle der Diagonalzahl bn = 1. Für an,n = 1 wird bn = 0 gesetzt.
Beispielliste:
1. … 1 0 0 0 0 0 0
2. … 1 0 0 0 0 0 1
3. … 1 0 1 1 0 1 0
4. … 1 0 1 0 1 1 0
5. … 1 1 1 0 0 1 1
6. … 1 1 1 1 0 1 0
7. … 1 1 1 1 1 0 0
…
Die Diagonalzahl ist nun …0001111. Diese Zahl befindet sich nicht in der Liste der Arrays von unendlich großen Zahlen. Es gibt hier keine führenden Nullen, die weggelassen werden können, weil diese unendlich großen Zahlen an der niedersten Stelle endlich sind. Wie man sieht, befindet sich die Diagonalzahl nicht in der Liste der unendlich großen Zahlen. Wenn man den Zahlen eine andere Reihenfolge gibt, erhält man selbstverständlich eine andere Diagonalzahl. Auch sie befindet sich nicht in der Liste der unendlich großen Zahlen.
In diesem Fall wird Cantors zweites Diagonalargument bestätigt.
Damit ist die Überabzählbarkeit der Menge unendlich großer Zahlen mit niederster Stelle bewiesen.
Betrachtet wird das Intervall ]0|1] der Reellen Zahlen. Auch in diesem Kapitel wähle ich Dualzahlen, weil Cantors Beweis sich auf dyadische Systeme bezieht. Um stets unendlich viele Nachkommastellen zu erhalten, werden bestimmte Dualzahlen als Dualbruch dargestellt: Aus 1 wird 0,111…; aus 0,1 wird 0,0111…; aus 0,01 wird 0,00111… usw. Ich setze nun für jedes an,n = 0 in der Liste der Reellen Zahlen an entsprechender Stelle der Diagonalzahl bn = 1. Für an,n = 1 wird bn = 0 gesetzt.
Beispielliste:
1. 0, 0 1 0 0 1 0 …
2. 0, 1 1 1 1 1 1 …
3. 0, 0 1 1 1 1 1 …
4. 0, 0 0 1 0 0 1 …
5. 0, 1 0 1 1 0 1 …
6. 0, 1 1 0 1 1 1 …
7. 0, 1 1 1 1 1 1 …
…
Die Diagonalzahl ist nun 1,000000… . Diese Zahl befindet sich in anderer Darstellung durchaus in der Liste der Reellen Zahlen, nämlich als Dualbruch 0,111111… . Hier ist die Gleichung E0 = Eu erfüllt, obwohl jedes an,n ungleich bn ist. Und in der Liste fehlt keine einzige Zahl.
Ich habe auch diese Liste mit Ordinalzahlen versehen. Es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen, um die Liste lückenlos durchzunummerieren.
Damit ist die Abzählbarkeit der Menge Reeller Zahlen bewiesen.
Damit ist Cantors Diagonalverfahren auch im Sinne eines Beweises für die Überabzählbarkeit der Reellen Zahlen gescheitert. Stattdessen wurde mit Cantors Diagonalverfahren die Abzählbarkeit der Reellen Zahlen bewiesen.
Weitere Varianten zur Abbildung einer Liste der Menge der Reellen Zahlen werden nun erörtert. In den folgenden Unterkapiteln wird stets für jedes an,n = 0 in der Liste der Reellen Zahlen an entsprechender Stelle der Diagonalzahl bn = 1 gesetzt. Für alle an,n = 1 wird bn = 0 gesetzt.
Dann ist die Diagonalzahl größer als 1. Damit befindet sie sich außerhalb des Intervalls ]0|1] der Reellen Zahlen. Sie kann somit unmöglich in der Liste des Intervalls ]0|1] der Reellen Zahlen stehen. In der Liste fehlt aber keine Zahl.
Auch damit ist Cantors Behauptung widerlegt.
Solch eine Reihenfolge der Liste Reeller Zahlen eignet sich nicht für den Beweis der Abzählbarkeit der Menge Reeller Zahlen. Man muss also darauf achten, dass in der Liste alle an,n = 1 sind. Nur so kann die Diagonalzahl sich innerhalb des Intervalls ]0|1] befinden, denn dazu muss jedes bn = 0 sein.
Dann gilt das gleiche wie oben: Die Diagonalzahl befindet sich als Reihe außerhalb des Intervalls und kann deshalb nicht in der Liste stehen. In der Liste fehlt aber keine Zahl.
Cantor hat das halboffene Intervall [0|1[ gewählt. Aber auch hier scheitert sein Beweis, solange man die Vorkommastelle bei der Bildung der Diagonalzahl nicht ignoriert. Die Vorkommastelle darf aber nicht ignoriert werden, wie ich in Kapitel 1.2 gezeigt habe.
Bei korrekter Vorgehensweise unter Einbezug der Vorkommastelle befindet sich die Diagonalzahl als Reihe selbstverständlich auch in diesen Fällen außerhalb des gewählten Intervalls. In der Liste fehlt aber keine Zahl.
Aber auch bei dem falschen Ansatz der Diagonalzahl nach dem Komma kann man Cantors Behauptung widerlegen.
Zu diesem Fall werde ich nun ein Beispiel mit dem Intervall ]0|0,1] auflisten:
Beispielliste:
1. 0, 0 0 1 0 0 0 1…
2. 0, 0 1 0 0 1 1 1 …
3. 0, 0 0 1 1 1 1 1 …
4. 0, 0 0 0 1 0 0 1 …
5. 0, 0 1 1 0 1 0 1 …
6. 0, 0 1 0 1 0 1 1 …
7. 0, 0 1 1 1 1 1 1 …
…
Die Diagonalzahl ist nun (bei unzulässig konstruierter Vorkommastelle 0) b=0,1000000… . Diese Zahl befindet sich in anderer Darstellung durchaus in der Liste der Reellen Zahlen des Intervalls ]0|0,1], nämlich als Dualbruch 0,0111111… . Auch hier ist die Gleichung E0 = Eu erfüllt, obwohl jedes an,n ungleich bn ist. Und in der Liste fehlt keine einzige Zahl.
Damit ist trotz falschem Ansatz der Diagonalzahl hinter dem Komma wiederum die Abzählbarkeit der Menge der Reellen Zahlen bewiesen.
Wenn man aber das Intervall ]0|0,01] wählt und die Diagonalzahl unzulässig an der ersten Nachkommastelle beginnt, befindet sie sich auch hier außerhalb des Intervalls ]0|0,01], weil die erste Nachkommastelle der Diagonalzahl eine 1 ist.
Auch mit dieser Vorgehensweise ist Cantors Überabzählbarkeitsbeweis widerlegt.
Man kann die Scharlatanerie natürlich konsequent weiter treiben, indem man nun die Diagonalzahl an der zweiten Nachkommastelle beginnen lässt, um dann später die vorausgehenden Stellen mit den gewünschten Ziffern zu ergänzen.
Nur mit Scharlatanerie kann Cantors zweites Diagonalargument mit Dualzahlen als Beweis der Überabzählbarkeit der Reellen Zahlen greifen:
1. Man muss einen ungültigen Ansatz für die Diagonalzahl wählen, indem man die Vorkommastelle ignoriert. Und
2. Man darf keine kleineren Intervalle als [0|1[ (wie etwa ]0|0,1] oder ]0|0,01]) wählen.
Wenn nur einer dieser beiden Punkte nicht gegeben ist, so zeigt sich: Die Diagonalzahl befindet sich entweder außerhalb des zugrunde gelegten Intervalls oder mit Cantors Diagonalverfahren lässt sich die Abzählbarkeit der Reellen Zahlen beweisen: Man nutzt die Dezimalbrüche, um als Ergebnis E0 = Eu zu erhalten, obwohl die Ziffern a,n n ungleich der Ziffern bn sind. Dann befindet sich bei geeigneter Sortierung die Reihe, welche der Diagonalzahl entspricht, innerhalb der zugrunde gelegten Liste. Und damit fehlt der Liste der Reellen Zahlen keine einzige Zahl.
Damit ist Cantors zweites Diagonalargument als Beweis der Überabzählbarkeit der Menge der Reellen Zahlen widerlegt.
Ich habe bewiesen:
Cantors zweites Diagonalargument ist prinzipiell ungeeignet, um eine zweifelsfreie Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der Reellen Zahlen zu liefern.
Es ist in der Mathematik üblich, Cantors zweites Diagonalargument mit Dezimalzahlen zu belegen. Die Dezimalzahlen gehören aber nicht zu den dyadischen Zahlensystemen.
Bereits dies ist ein formaler Fehler.
Wir haben nun die Elemente m, o, p, q, r, s, t, u, v, w.
Bei dem Vorgehen mit Dezimalzahlen wird für das Element m das Element w gesetzt, während für die Elemente o, p, q, r, s, t, u, v, w das Element m gesetzt wird.
Bei der Menge der Reellen Zahlen wird dann der gleiche falsche Ansatz der Diagonalzahl an der ersten Nachkommastelle gewählt, mit dem ich mich bereits in den vorigen Kapiteln auseinander gesetzt habe.
Bei korrektem Ansatz der Diagonalzahl an der Vorkommastelle befindet sie sich ebenso außerhalb des gewählten Intervalls, wie ich es bereits für die Dualzahlen gezeigt habe, mit einer Ausnahme:
Es gilt das Intervall ]0|1] der Reellen Zahlen. Wenn man für die Elemente m und w die Ziffern 0 und 1 wählt, sodass für jedes an,n=0 in der Diagonale bn=1 und für jedes andere an,n in der Diagonale bn=0 gesetzt wird, und man eine geeignete Sortierung wählt, so ergibt sich wieder der gleiche Beweis für die Abzählbarkeit der Reellen Zahlen wie bei den Dualzahlen.
Beispielliste:
1. 0, 0 1 0 0 1 0 …
2. 0, 9 9 9 9 9 9 …
3. 0, 0 4 6 3 8 1 …
4. 0, 0 0 2 0 0 2 …
5. 0, 3 3 3 3 3 3 …
6. 0, 7 7 0 7 7 0 …
7. 0, 2 5 1 1 1 1 …
…
Die Diagonalzahl ist nun 1,000000… . Diese Zahl befindet sich in anderer Darstellung durchaus in der Liste der Reellen Zahlen, nämlich als Dezimalbruch 0,999999… . Hier ist die Gleichung E0 = Eu erfüllt, obwohl jedes an,n ungleich bn ist. Und in der Liste fehlt keine einzige Zahl.
Bei den Dezimalzahlen ist also seitens der Mathematiker die Scharlatanerie um ein Element der Täuschung bereichert worden, weil man hier bequem auf die Ziffer 0 verzichten kann.
Bekanntlich gibt es beim Münzenwurf das dyadische System aus Kopf und Zahl. Bei einer Reihe von Münzwürfen kann man weder Kopf noch Zahl als 0 auffassen und folglich auch nicht im Sinne einer führenden 0 entfernen. Münzwürfe kennen außerdem kein Komma, wie es bei den Reellen Zahlen vorkommt. Cantors Diagonalargument mit den zwei Charakteren m und w gleicht also einer Liste von unendlich vielen Kombinationen unendlicher Reihen von Münzwürfen.
Und hier fehlt endlich in jedem Falle die Diagonalreihe in der zugrunde gelegten Liste. Arrays von Münzwürfen sind aber keine Zahlen.
Für jede einzelne der unendlich vielen Reellen Zahlen der Menge R gilt: Sie sei das einzige Element ev in einer Menge Ev.
Es ergeben sich nun unendlich viele Mengen E1, E2, E3, …, Ev, … , die jeweils ein Element ev enthalten. Jede einzelne Menge E1, E2, E3, …, Ev, … ist also Teilmenge von R.
Nun vereinigt man alle Mengen E1, E2, E3, …, Ev, … zur Menge R der Reellen Zahlen:
E1 vereinigt mit E2 vereinigt mit E3 vereinigt mit … vereinigt mit Ev vereinigt mit …
Das Ergebnis ist die Menge R der Reellen Zahlen.
Bei der Vereinigung wird jeder Menge E1, E2, E3, …, Ev, … eine Natürliche Zahl n1, n2, n3, …, nv, … als Ordinalzahl zugeordnet, wobei der Menge E1 mit dem Element 0 die Zahl 1 zugeordnet wird. Allen Mengen mit ev > 0 werden gerade Zahlen und allen Mengen mit ev < 0 werden ungerade Zahlen zugeordnet.
Es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen, sodass eine Bijektion gewährleistet ist. Bei der Vereinigung kann keine Menge Ev und kein Element ev verloren gehen und es kann keine Menge Ev1 und kein Element ev1 hinzukommen, denn sonst würde die Mengen-Operation der Vereinigung fehlerhaft sein.
Damit ist die Abzählbarkeit der Menge R der Reellen Zahlen bewiesen.
50d513e4c51e1ba9eb84bb40ffa29baa17642a36.html
| 
